The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__pairNs → cons(0, incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0, XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
mark(repItems(cons(X125049_3, X225050_3))) →⁺ cons(mark(mark(X125049_3)), cons(mark(X125049_3), repItems(X225050_3)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X125049_3 / repItems(cons(X125049_3, X225050_3))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(repItems(cons(X125049_3, X225050_3))) →⁺ cons(mark(mark(X125049_3)), cons(mark(X125049_3), repItems(X225050_3)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1,0].
The pumping substitution is [X125049_3 / repItems(cons(X125049_3, X225050_3))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__oddNs, a__incr, mark, a__tail, a__repItems

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__oddNs = a__incr
a__oddNs = mark
a__oddNs = a__tail
a__oddNs = a__repItems
a__incr = mark
a__incr = a__tail
a__incr = a__repItems
mark = a__tail
mark = a__repItems
a__tail = a__repItems

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__incr, a__oddNs, mark, a__tail, a__repItems

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__oddNs = a__incr
a__oddNs = mark
a__oddNs = a__tail
a__oddNs = a__repItems
a__incr = mark
a__incr = a__tail
a__incr = a__repItems
mark = a__tail
mark = a__repItems
a__tail = a__repItems

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__incr.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__oddNs, a__tail, a__repItems

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__oddNs = a__incr
a__oddNs = mark
a__oddNs = a__tail
a__oddNs = a__repItems
a__incr = mark
a__incr = a__tail
a__incr = a__repItems
mark = a__tail
mark = a__repItems
a__tail = a__repItems

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

Induction Base:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(n1256631_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)), 0') →_IH
cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(c1256632_0), 0')

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Lemmas:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__oddNs, a__incr, a__tail, a__repItems

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__oddNs = a__incr
a__oddNs = mark
a__oddNs = a__tail
a__oddNs = a__repItems
a__incr = mark
a__incr = a__tail
a__incr = a__repItems
mark = a__tail
mark = a__repItems
a__tail = a__repItems

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__oddNs.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Lemmas:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__tail, a__incr, a__repItems

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__oddNs = a__incr
a__oddNs = mark
a__oddNs = a__tail
a__oddNs = a__repItems
a__incr = mark
a__incr = a__tail
a__incr = a__repItems
mark = a__tail
mark = a__repItems
a__tail = a__repItems

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__tail.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Lemmas:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__repItems, a__incr

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__oddNs = a__incr
a__oddNs = mark
a__oddNs = a__tail
a__oddNs = a__repItems
a__incr = mark
a__incr = a__tail
a__incr = a__repItems
mark = a__tail
mark = a__repItems
a__tail = a__repItems

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__repItems.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Lemmas:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__incr

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__oddNs = a__incr
a__oddNs = mark
a__oddNs = a__tail
a__oddNs = a__repItems
a__incr = mark
a__incr = a__tail
a__incr = a__repItems
mark = a__tail
mark = a__repItems
a__tail = a__repItems

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__incr.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Lemmas:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

(23) BOUNDS(n^1, INF)

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
a__pairNs → cons(0', incr(oddNs))
a__oddNs → a__incr(a__pairNs)
a__incr(cons(X, XS)) → cons(s(mark(X)), incr(XS))
a__take(0', XS) → nil
a__take(s(N), cons(X, XS)) → cons(mark(X), take(N, XS))
a__zip(nil, XS) → nil
a__zip(X, nil) → nil
a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS))
a__tail(cons(X, XS)) → mark(XS)
a__repItems(nil) → nil
a__repItems(cons(X, XS)) → cons(mark(X), cons(X, repItems(XS)))
mark(pairNs) → a__pairNs
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(oddNs) → a__oddNs
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(zip(X1, X2)) → a__zip(mark(X1), mark(X2))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(repItems(X)) → a__repItems(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
a__pairNs → pairNs
a__incr(X) → incr(X)
a__oddNs → oddNs
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
a__zip(X1, X2) → zip(X1, X2)
a__tail(X) → tail(X)
a__repItems(X) → repItems(X)

Types:
a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail1_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0 :: Nat → 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail

Lemmas:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

Generator Equations:
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0)) → gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail2_0(n1256631_0), rt ∈ Ω(1 + n1256631₀)

(26) BOUNDS(n^1, INF)